Integración Por Partes

La integración por partes es parecido a cambio de variable, pero un poco mas complejo así que pon mucha atención en la explicación, si te quedan dudas después de leer y releer, no dudes en contactarme, o buscar ayuda de otra fuente.

La formula anterior es muy importante para este tema, si puedes apréndetela, pero tenla siempre a la mano para realizar los ejercicios. Y solo para que no te confundas, en la primera parte de la formula se refiere a la integral que vas a hacer, el resto es lo que tienes que hacer para poder realizarla. Ahora te explicare un ejemplo.

Ejemplo:

Como te avía dicho, esto es parecido al cambio de variable, Pero ahora te diré los detalles.

1.- Debes de dar un valor a u en este caso tomamos la parte del logaritmo natural (ln|x|).

2.- Ahora debes de derivar u (ln|x|) para obtener el valor de du, recuerda que la derivada de un logaritmo natural es igual a dx/n, en este caso la derivada de ln|x| es dx/x.

3.- Ahora debemos darle un valor a dv, que viene siendo el resto de la integral, es decir, ya aviamos tomado ln|x| para el valor de u, y lo que nos quedo fue xdx, así que el valor que le daremos a dv será xdx. Como consejo, elije como valor de dv, la parte de la integral que sea mas fácil de integrar.

4.- Lo siguiente es darle el valor a v, que viene siendo la integral de dv (xdx).

5.- Una vez que tenemos definidos los valores, debemos usar nuestra formula. Debes sustituir los valores tal y como te lo indica.

6.- En la formula indica que v y u se están multiplicando, tu solo indícalos, así como se muestra en la imagen.

7.- Después, se esta restando la integral del producto de v y du, igual no es necesario que los multipliques solo indícalos.

8.- Solo esta ultima integral, a continuación lo haré paso a paso.

 

 

 

Esta es la integral resuelta.

Bueno en esta imagen esta toda la integral resuelta, no salte ni un paso, analízala y encuentra de donde sale cada dato, por tu propia cuenta, así aprenderás mas rápido. Cuando tu maestro haga algo y no sepas porque, igual pregunta, el tendrá la respuesta.

Ejercicios:

°°~~SUERTE~~°°

Cambio De Variable

Se llama Integral Tipo a una formula de integración donde U representa una función de X

¿A que se refiere con esto? Antes de mostrarte una ejemplo, en la siguiente imagen puedes observar las tres casos de Integral Tipo, puedes notar que en el primer caso es básicamente igual a la forma de integración que se muestra en el tema de INTRODUCCION A CALCULO INTEGRAL, así que no será tan complicado comprender.

Integral Tipo Caso 1:

Lo siguiente es sustituir los valores por u y du…

Por ultimo sustituimos el verdadero valor de u…

Puede quedar de las dos formas, ya que viene siendo lo mismo, la diferencia es que en la primera el 1/6 ya esta multiplicado, y en el otro solo esta señalado que se esta multiplicando. Y hemos terminado.

Integral Tipo Caso 2:

Al final solo queda sustituir el verdadero valor de u…

De esta manera hemos terminado.

Integral Tipo Caso 3:

Al final sustituimos el verdadero valor de u…

Y de esta manera hemos terminado.

Ahora te daré algunos ejercicios:

EJERCICIOS:

 

 

***SUERTE***

Introducción a Cálculo Integral

En calculo diferencial aprendimos a derivar una función y sacar su diferencial, si no lo recuerdas ahí te va un recordatorio.

Tenemos varios tipos de Funciones básicas para derivar:

Observa y Analiza esta función:

 

 

¿Recuerdas como se deriva este tipo de funciones? es de POTENCIA, siguiendo la REGLA DE CORRESPONDENCIA se deriva de esta forma:

A continuación viene un Ejemplo:

Una vez que tú tienes la derivada de una función puedes sacar su DIFERENCIAL.

Pero antes que nada debe quedarte claro que:

Entonces ahora que ya tenemos la derivada de la función, que es:

Obtendremos su diferencial, y es tan sencillo como pasar el dx multiplicando a toda la derivada, Observa.

Lo que hicimos aquí fue, el dx que dividía a d, la pasamos al otro lado multiplicando a la derivada, y LISTO, ya obtuvimos la diferencial de la función.

Básicamente, lo que tienes que hacer para obtener la diferencial de una función es primero sacar la derivada y segundo, multiplicarla con dx, y ya.

Si con esto no recuerdas nada de como derivar y diferenciar ve a las entradas de Calculo Diferencial.

Observa la siguiente imagen:

Esto quiere decir que si tú integras una diferencial, obtendrás la función original que fue derivada.

Analizando lo anterior, se puede decir que para poder integrar se debe hacer lo contrario que al derivar.

¿Como se integra?

Una vez que tu tienes una diferencial, puedes comenzar a integrarla, anteriormente vimos como derivar funciones de potencia… pues se hace lo contrario… es decir, si multiplicaste, ahora divide, si restaste ahora suma. Observa.

Esta es una integral tipo o de potencia. Es lo contrario a la derivación de una función de potencia.

Solo sigue la regla, agrégale una C y así integraras esa diferencial, y obtendrás la función original.

EJEMPLO 1:

Como puedes observar el 8 sale del símbolo de integración, esto es porque los valores constantes (números) permanecen fuera del símbolo de integración.

Si no entendiste lo analizaremos paso a paso.

Si quieres saber por qué siempre se pone la “C” al final da clic aquí.

Con esta regla de integración que hemos visto podrás hacer muchas integrales de este tipo. Te mostrare algunos ejemplos:

Ejemplo 2:

En este caso integramos termino por termino, con la regla de integración de potencia.

 

Como ya lo hemos visto las constantes (números) y los signos, salen del símbolo de integración y una vez que los separas comienzas a integrar normal.

Realizas la regla de integración en cada uno de ellos y al final solo divides y ya sea que lo expreses de la forma anterior o bien de la forma siguiente, da igual.

Ejemplo 3:

En este caso tenemos fracciones, pero no te asustes es muy sencillo, solo tienes que subir lo de abajo pa’riba y colocar su exponente en negativo,  para convertirlo a tipo potencia.

Ya hemos separado los términos con las constantes (números) fuera, y puedes observar que la X que se encontraba abajo ahora esta arriba con su exponente negativo.

Aquí comienzas a realizar la regla de integración, pon mucha atención en los signos, signos diferentes se restan.

 

Una vez que obtienes este resultado, divides, y veras que todas las fracciones quedan igual pero con signos negativos, no podemos dejar exponentes negativos así que tenemos que bajarlos pa’abajo.

Puedes observar como bajé las X negativas y sus exponentes cambian a positivos, y los 1 con coeficientes (letra) no son necesarios escribirlos.

Esto solo fue una introducción así que si quieres seguir integrando ve a la siguiente entrada de Cálculo Integral.

EJERCICIOS:

Se integra factor por factor.

 

La raíz sube como exponente de 1/2

 

Desarrolla el binomio al cuadrado.

 

Lo de abajo sube pa’riba.

 

Igual que la anterior lo de abajo sube pa’riba.